Geometrische Bedeutung

Geometrisch betrachtet gehört zu einem relativen Extremwert einer Funktion zweier Veränderlicher, die in einem kartesischen Koordinatensystem als Fläche dargestellt ist, ein Punkt A, in dem die Applikate der Fläche größer bzw. kleiner ist als die Applikate aller beliebigen anderen Punkte in hinreichend kleiner Entfernung vom Punkt A, d.h. in einem Gebiet kleiner Ausdehnung, das den Punkt A enthält.

Wenn die Fläche im Punkt P, der ein relatives Extremum darstellt, eine Tangentialebene besitzt, dann verläuft diese parallel zur x,y-Ebene (linke und rechte Abbildung). Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend dafür, daß im Punkt P ein Maximum oder Minimum vorhanden ist. In der unteren Abbildung zeichnet sich die Fläche im Punkt P durch eine horizontale Tangentialebene aus, doch besitzt die Funktion dort kein Extremum, sondern einen Sattelpunkt.