Zweidimensionaler Fall

1. Definition:

Wenn das Kurvenintegral

mit den stetigen Funktionen P und , die in einem einfach zusammenhängenden Gebiet definiert sind, nur vom Anfangspunkt A und vom Endpunkt B abhängen soll, nicht aber vom Integrationsweg, der beide Punkte verbindet (s. Abbildung), d.h. für beliebige A und B und beliebige Integrationswege ACB bzw. ADB die Gleichung

gelten soll, dann ist notwendig und hinreichend, daß eine Funktion U(x,y) von zwei Veränderlichen existiert, deren vollständiges Differential der Integrand des Kurvenintegrals ist:

d.h., es gilt

Die Funktion U(x,y) ist dann eine Stammfunktion des vollständigen Differentials (8.126a).

In der Physik wird die Stammfunktion U(x,y) als Potential in einem Vektorfeld gedeutet.

2. Existenz der Stammfunktion:

Notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Existenz der Stammfunktion, die Integrabilitätsbedingung für den Ausdruck , ist die Gleichheit der partiellen Ableitungen

von denen gefordert werden muß, daß sie stetig sind.