Dreidimensionaler Fall

Die Bedingung für die Unabhängigkeit des Kurvenintegrals

vom Integrationsweg (s. Abbildung) lautet in Analogie zum zweidimensionalen Fall:

1. Es wird die Existenz einer Stammfunktion U(x,y,z) gefordert, für die gilt

   und damit
2. Die Integrabilitätsbedingung besteht in diesem Falle aus den drei gleichzeitig zu erfüllenden Gleichungen

   für die partiellen Ableitungen, die ihrerseits stetig sein müssen.

   

Beispiel

Die Arbeit W ist als Skalarprodukt aus Kraft und Weg definiert. Im konservativen Feld hängt die Arbeit nur vom Ort ab, nicht aber von der Geschwindigkeit . Mit gradV und sind somit für das Potential die Beziehungen (8.129a), (8.129b) erfüllt, und es gilt (8.129c). Unabhängig vom Weg zwischen den Punkten P₁ und P₂ erhält man: