Geometrische Interpretation und Vorzeichenregel

1. Fläche unter der Kurve:

Für x in [a,b] sei . Dann läßt sich die Summe (8.36) als Gesamtinhalt von Rechtecken deuten, durch die die Fläche unter der Kurve angenähert wird.

Demzufolge ergibt der Grenzwert dieser Summe und damit das bestimmte Integral den Inhalt der Fläche , die von der Kurve , der x-Achse und den Parallelen x = a und x = b zur y-Achse begrenzt wird:

2. Vorzeichen- oder Flächenregel:

Wenn die Funktion y = f(x) im Integrationsintervall abschnittsweise positiv oder negativ ist, dann nehmen die Teilintegrale über den betreffenden Teilintervallen, also auch die Teilflächen, positive oder negative Werte an, so daß die Integration über das gesamte Intervall eine Flächendifferenz liefert.

In der folgenden Abbildung, bestehend aus vier Teilabbildungen, sind vier Fälle mit unterschiedlichen Möglichkeiten der Flächen-Vorzeichenbildung dargestellt:

Beispiel A

(lies Integral von x=0 bis ) ,

Beispiel B

(lies Integral von x=0 bis ) .