Integration durch Reihenentwicklung

Wenn der Integrand f(x) im Integrationsintervall [a,b] in eine gleichmäßig konvergente Reihe

entwickelt werden kann, dann läßt sich das Integral in der Form

schreiben. Auf diese Weise kann das bestimmte Integral als konvergente numerische Reihe dargestellt werden:

Im Falle leicht zu integrierender Funktionen , wenn z.B. f(x) in eine Potenzreihe entwickelt werden kann, die im Intervall [a,b] gleichmäßig konvergiert, kann das Integral mit beliebiger Genauigkeit berechnet werden.

Beispiel

Das Integral ist mit einer Genauigkeit von 0,0001 zu berechnen. Die Reihe konvergiert gemäß dem Satz von ABEL in jedem beliebigen endlichen Intervall gleichmäßig, so daß gilt.
Damit folgt
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Um bei der Berechnung des Integrals eine Genauigkeit von 0,0001 zu erreichen, genügt es, in Übereinstimmung mit dem Satz von LEIBNIZ über alternierende Reihen die ersten vier Glieder der Reihenentwicklung zu berechnen:
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