Über die Anwendung des Hauptsatzes der Integralrechnung

1. Warnung:

Die Berechnung uneigentlicher Integrale vom Typ (8.87a) kann bei mechanischer Anwendung der Formel

ohne Berücksichtigung der singulären Punkte im Innern des Intervalls [a,b] zu groben Fehlern führen.

Beispiel E

So erhält man durch formale Anwendung des Hauptsatzes auf Beispiel D
,
während dieses Integral in Wirklichkeit divergiert.

2. Allgemeine Regel:

Der Hauptsatz der Integralrechnung darf auf den Fall (8.87a) nur angewendet werden, wenn die Stammfunktion von f(x) im singulären Punkt stetig ist.

Beispiel F

In Beispiel D ist die Funktion für unstetig, so daß diese Bedingung nicht erfüllt ist. Hingegen ist in Beispiel C die Funktion für x = 0 stetig, so daß der Hauptsatz auf Beispiel C angewendet werden kann:
.