Anfangs- und Randbedingungen

Die Lösung physikalischer, technischer und naturwissenschaftlicher Probleme erfordert gewöhnlich die Erfüllung zweier grundsätzlicher Anforderungen:

1. Die gesuchte Lösung hat nicht nur der Differentialgleichung zu genügen, sondern zusätzlich noch Anfangs- bzw. Randbedingungen. Dabei können Probleme auftreten, bei denen nur Anfangsbedingungen, nur Randbedingungen oder sowohl Anfangs- als auch Randbedingungen vorgegeben sind. Die Gesamtheit aller Bedingungen muß die Lösung der Differentialgleichung eindeutig festlegen.
2. Die gesuchte Lösung muß gegenüber kleinen Änderungen der Anfangs- und Randbedingungen stabil sein, d.h. sich beliebig wenig ändern, wenn die Änderungen dieser Bedingungen, oft auch Störungen genannt, hinreichend klein sind. Man sagt dann, daß eine korrekte Problemstellung vorliegt.

Erst wenn diese Bedingungen erfüllt sind, kann davon ausgegangen werden, daß das mathematische Modell des gegebenen Problems zur Beschreibung realer Erscheinungen geeignet ist.
Bei den Differentialgleichungen des hyperbolischen Typs, auf die besonders Untersuchungen von Schwingungsvorgängen in kontinuierlichen Medien führen, ist z.B. das CAUCHYsche Problem korrekt gestellt. Dies bedeutet, daß auf einer Anfangsmannigfaltigkeit, d.h. auf einer Kurve oder Fläche, Werte der zu bestimmenden Funktion sowie ihrer Ableitungen in einer nichttangentialen, besonders der Normalenrichtung gegeben sind. Bei den Differentialgleichungen des elliptischen Typs, auf die besonders Untersuchungen von stationären Vorgängen und von Gleichgewichtsproblemen in kontinuierlichen Medien führen, ist die Stellung des Randwertproblems, d.h. die Vorgabe der Werte der zu bestimmenden Funktion auf dem Rande des betrachteten Variabilitätsgebiets der unabhängigen Variablen, korrekt. Wenn das betrachtete Gebiet unbegrenzt ist, dann müssen von der zu bestimmenden Funktion geeignete Verhaltenseigenschaften beim unbegrenzten Wachstum der unabhängigen Variablen gefordert werden.