Dreidimensionale Wärmeleitungsgleichung

Die Ausbreitung der Wärme in einem homogenen Medium wird durch die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung vom parabolischen Typ

beschrieben, wobei der LAPLACE-Operator ist, hier beschränkt auf maximal drei Ausbreitungsrichtungen , beschreibbar auch durch den Ortsvektor . Wenn der Wärmestrom weder Quellen noch Senken besitzt, verschwindet die rechte Seite wegen .
Das CAUCHYsche Problem kann folgendermaßen gestellt werden: Es ist eine für t > 0 beschränkte Lösung u(x,t) zu suchen, wobei u|_t=0=f(x) sein soll. Die Forderung nach der Beschränktheit sichert gleichzeitig die Eindeutigkeit der Lösung.
Für die homogene Differentialgleichung mit Q(x,t) = 0 erhält man die Wellenfunktion

u(x₁, x₂, x₃, t) = (9.115b)

Für die inhomogene Differentialgleichung mit ist auf der rechten Seite dieser Gleichung der folgende Ausdruck zu addieren:

Die Aufgabe, u(x,t) für t < 0 zu bestimmen, wenn die Werte von u(x,0) gegeben sind, kann so nicht gelöst werden, weil das CAUCHYsche Problem dann nicht mehr korrekt gestellt ist.
Da die Temperatur zur Wärmemenge proportional ist, setzt man oft (Temperaturfeld) und a²=D_W (Wärmediffusionskonstante oder Temperaturleitzahl) und erhält