Observable und Wahrscheinlichkeitsamplituden

Eine physikalische Größe (Ort, Impuls, Drehimpuls, Energie), die durch eine geeignete Meßanordnung bestimmt werden kann, bezeichnet man als Observable. In der Quantenmechanik wird jede Observable A durch einen linearen, hermiteschen Operator mit repräsentiert, der auf die Wellenfunktion wirkt. Dabei wird beim Übergang zum Operator der Quantenmechanik die Struktur der klassischen Größe übernommen.

Beispiel Drehimpulsoperator

Für den Operator des Drehimpulses gilt mit Orts- und Impulsvektor bzw. :

= (9.122a)

= (9.122b)

Einer Observablen kann ein bestimmter numerischer Wert im allgemeinen nicht durch die Angabe der Wellenfunktion sondern erst als Ergebnis einer Messung zugeschrieben werden. Die einzig möglichen Meßwerte von A sind dabei die reellen Eigenwerte a_i von ; die zugehörigen Eigenfunktionen bilden ein vollständiges Orthonormalsystem:

Befindet sich das System in einem beliebigen, allgemeinen Zustand , dann ist der Ausgang eines individuellen Experiments, d.h. das Auftreten eines bestimmten Meßwertes a_i in einer Einzelmessung nicht vorhersagbar. Denkt man sich aber die Messung an identischen Systemen im gleichen Zustand ausgeführt, dann tritt unter den Meßergebnisse jeder mögliche Meßwert a_i mit einer Häufigkeit N_i auf. Man kann dann eine Wahrscheinlichkeit W_i dafür angeben, in einer Einzelmessung den Meßwert a_i zu finden:

Um diese Wahrscheinlichkeit aus der Wellenfunktion zu ermitteln, wird nach den Eigenfunktionen entwickelt:

Der Entwicklungskoeffizient c_i ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, im Zustand das System im Eigenzustand anzutreffen und folglich den Meßwert a_i zu erzielen. Das Absolutquadrat von c_i liefert dann die Wahrscheinlichkeit W_i für den Meßwert a_i:

Da bei jeder Messung mit Sicherheit einer der möglichen Meßwerte a_i gefunden wird, entspricht die Summe der Wahrscheinlichkeiten W_i der Normierungsbedingung für die Wellenfunktion .

Sind zwei Zustände eines physikalischen Systems bekannt, dann folgt aus der Linearität der SCHR¨ODINGER-Gleichung, daß die Überlagerung

ebenfalls einen möglichen physikalischen Zustand darstellt. Dieses fundamentale Superpositionsprinzip der Quantenmechanik bedingt, daß bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit der Zustandsfunktion , etwa

wegen der zugrundliegenden, vorangegangenen Addition von Wahrscheinlichkeitsamplituden neben der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ein vorzeichenbehafteter Zusatzterm auftritt, der die überraschenden Interferenzerscheinungen in der Quantenmechanik bewirkt (Welle-Teilchen-Dualismus).