Erwartungswert und Unschärfe

Der quantenmechanische Erwartungswert ist definiert als Mittelwert der Meßergebnisse bei Messungen an identischen Systemen:

Der Erwartungswert wird im allgemeinen nicht mit einem der möglichen Meßwerte zusammenfallen.

Beispiel Erwartungswert

Die Berechnung des Erwartungswertes für eine Ortsmessung an einem Teilchen im Zustand , z.B.

zeigt, daß die Wellenfunktion als eine Wahrscheinlichkeitsamplitude aufzufassen ist. Das Absolutquadrat ist dann eine Wahrscheinlichkeitsdichte. Der Ausdruck

bedeutet die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t das Teilchen im Volumenelement dV um den Ort zu finden (Aufenthaltswahrscheinlichkeit).

Für einen allgemeinen Zustand läßt sich als Maß für die Streuung der Meßergebnisse einer Observablen A um den Erwartungswert durch die Unschärfe (Unbestimmtheit ) erfassen, die über die Standardabweichung eingeführt wird:

Mit Hilfe der Wellenfunktion kann man die Unschärfe einer Observablen als Erwartunmgswert der quadratischen Abweichung vom Mittelwert berechnen:

Befindet sich das System in einem Eigenzustand von , dann ergibt sich in allen Einzelmessungen mit Sicherheit der gleiche Meßwert a_i:

Eine Streuung der Meßwerte um den Erwartungswert tritt nicht auf.