Gleichung und Lösungen

Die KdV-Gleichung für die Evolutionsfunktion u lautet

Sie hat die Soliton-Lösung

Dieses KdV-Soliton ist durch die zwei dimensionslosen Parameter und eindeutig bestimmt, und ist in der Abbildung ist v=1 dargestellt. Ein typisch nichtlinearer Effekt besteht darin, daß die Solitongeschwindigkeit v die Amplitude und die Breite des Solitons bestimmt: KdV-Solitonen mit größerer Amplitude und geringerer Breite bewegen sich schneller als solche mit kleinerer Amplitude und größerer Breite. Die Solitonphase beschreibt die Lage des Maximums des Solitons zur Zeit

Die Gleichung (9.160) besitzt auch N-Solitonenlösungen. Eine solche N-Solitonenlösung läßt sich für asymptotisch durch lineare Überlagerung von Ein-Solitonlösungen darstellen:

Dabei ist jede Evolutionsfunktion u_n(x,t) durch eine Geschwindigkeit v_n und eine Phase gekennzeichnet. Die Anfangsphasen vor der Wechselwirkung oder dem Stoßprozeß unterscheiden sich von den Endphasen nach dem Stoß , während die Geschwindigkeiten keine Änderung erfahren, d.h., es handelt sich um eine elastische Wechselwirkung.
Für N=2 besitzt (9.160) eine 2-Solitonenlösung. Sie läßt sich für endliche Zeiten nicht durch lineare Überlagerung darstellen und lautet mit und :

Diese Gleichung (9.163) beschreibt asymptotisch zwei für nicht wechselwirkende Solitonen mit den Geschwindigkeiten v₁=4k₁² und , die nach einem Wechselwirkungsprozeß für wieder asymptotisch in zwei nichtwechselwirkende Solitonen mit denselben Geschwindigkeiten übergehen.

Die nichtlineare Evolutionsgleichung

w_t+6(w_x)²+w_xxx=0 (9.164a)

hat mit

eine Solitonlösung und

eine 2-Solitonenlösung. Mit 2w_x=u ergibt sich aus (9.164a) die KdV-Gleichung (9.160). Die Gleichung (9.163) und der sich mit (9.164c) ergebende Ausdruck für w sind Beispiele für eine nichtlineare Superposition. Ersetzt man in (9.160) den Term +6uu_x durch -6uu_x, so muß die rechte Seite von (9.161) mit (-1) multipliziert werden. Man spricht dann auch von einem Antisoliton.