Lösung in Parameterform

Gegeben sei eine Differentialgleichung in der impliziten Form

F(x,y,y') = 0. (9.14)


Ein Verfahren, zu einer Auflösung nach y' zu kommen, geht von dem Satz aus, daß durch einen Punkt P(x0,y0) genau n Integralkurven verlaufen, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
  1. In dem Punkt P(x0,y0) besitze die Gleichung F(x0,y0,p) = 0 mit p = dy/dx insgesamt n reelle Wurzeln .
  2. Die Funktion F(x,y,p) und ihre ersten Ableitungen seien für stetig, und es gelte .

Wenn sich eine gegebene Gleichung nach y' auflösen läßt, dann zerfällt sie in n Gleichungen von der eben beschriebenen Form, nach deren Lösung man n Integralkurvenscharen erhält. Sollte sich eine Gleichung in der Form oder darstellen lassen, dann erhält man, indem y' = p gesetzt und p als Hilfsveränderliche verstanden wird, durch Differentiation nach y bzw. x eine Gleichung in dp/dy bzw. dp/dx, die nach der Ableitung aufgelöst ist. Ihre Lösung zusammen mit der Ausgangsgleichung (9.14) ergibt dann die Lösung in Parameterform.

Beispiel

Es ist die Differentialgleichung x=yy'+y'2 zu lösen. Man setzt y'=p und erhält . Differentiation nach y und Setzen von
liefert oder .
Die Auflösung dieser in y linearen Gleichung ergibt . Einsetzen in die Ausgangsgleichung für x ergibt die Lösung in Parameterform.