Clairautsche Differentialgleichung

CLAIRAUTsche Differentialgleichung heißt der Spezialfall der LAGRANGEschen Differentialgleichung, der sich für

ergibt, und der stets auf die Form

y=y'x+f(y') (9.16b)

gebracht werden kann. Die allgemeine Lösung lautet

Neben der allgemeinen Lösung besitzt die CLAIRAUTsche Differentialgleichung ein singuläres Integral, das man durch Elimination der Konstanten C aus den Gleichungen

y=Cx+f(C) (9.16d)

erhält, wobei die zweite Gleichung aus der ersten durch Differentiation nach C gewonnen wird. Die geometrische Bedeutung der singulären Lösung besteht darin, daß sie die Einhüllende der lösenden Geradenschar darstellt (s. Abbildung).

Beispiel

Es ist die Differentialgleichung y=xy'+y'² zu lösen. Das allgemeine Integral ist , das singuläre wird unter Zuhilfenahme der Gleichung x+2C=0 zur Elimination von C zu x²+4y =0 berechnet. Die Abbildung zeigt diesen Fall.