Integration durch Reihenentwicklung

Die TAYLORsche Reihenentwicklung der Lösung einer Differentialgleichung ist in der Form

darstellbar, wenn die Werte aller Ableitungen der Lösungsfunktion für den Anfangswert x₀ der unabhängigen Variablen bekannt sind. Man kann sie durch sukzessives Differenzieren der Differentialgleichung und Einsetzen der Anfangsbedingung bestimmen. Wenn die Differentiation der Differentialgleichung beliebig oft möglich ist, konvergiert die so gewonnene Reihe in einer gewissen Umgebung des Anfangswertes der unabhängigen Variablen. Man kann diese Methode auch bei der Lösung von Differentialgleichungen n-ter Ordnung einsetzen.
Häufig ist es vorteilhaft, die Lösung in der Form einer Reihe mit unbestimmten Koeffizienten anzusetzen, die mit Hilfe der Bedingung bestimmt werden, daß die Gleichung erfüllt wird, wenn man die Reihe einsetzt.

Beispiel A

Zur Lösung der Differentialgleichung y'=e^x-y² mit y₀=0 für x₀=0 kann gesetzt werden. Einsetzen in die Gleichung liefert unter Berücksichtigung von S² gemäß (7.81)

Hieraus folgt durch Koeffizientenvergleich usw. Sukzessive Lösung dieser Gleichungen und Einsetzen der gefundenen Koeffizienten in die Reihe liefert .

Beispiel B

Die gleiche Differentialgleichung mit der gleichen Anfangsbedingung kann auch folgendermaßen gelöst werden:
Man setzt in der Differentialgleichung x = 0 und erhält . Außerdem ergibt sich . Gemäß dem Satz von TAYLOR folgt .