Existenz einer Lösung

Zurückführung auf ein System von Differentialgleichungen:

Jede explizite Differentialgleichung n-ter Ordnung

kann durch Einführung der neuen Variablen

auf ein System von n Differentialgleichungen 1. Ordnung

zurückgeführt werden.

Existenz eines Lösungssystems:

Das im Vergleich zu (9.22c) allgemeinere System von n Differentialgleichungen

besitzt ein eindeutig bestimmtes Lösungssystem

das in einem Intervall definiert und stetig ist und für x = x₀ die vorgegebenen Anfangswerte annimmt, wenn die Funktionen bezüglich aller Variablen stetig sind und die folgende LIPSCHITZ-Bedingung erfüllen.

Lipschitz-Bedingung:

Die Funktionen f_i müssen für die Werte und , die in einem gewissen Intervall in der Umgebung der gegebenen Anfangswerte liegen, den Ungleichungen

mit einer gemeinsamen Konstanten K genügen (s. auch LIPSCHITZ-Bedingung für Differentialgleichungen 1. Ordnung). Daraus folgt, vorausgesetzt die Funktion ist stetig und erfüllt die LIPSCHITZ-Bedingung (9.24), daß auch die Gleichung

eine eindeutige Lösung besitzt, die die Anfangsbedingungen für x = x₀ erfüllt und zusammen mit ihren Ableitungen bis einschließlich der (n - 1)-ten Ordnung stetig ist.