Allgemeine Lösung

Konstanten:

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (9.4) enthält n unabhängige willkürliche Konstanten:

Geometrische Bedeutung:

Geometrisch betrachtet, wird durch die Gleichung (9.26a) eine n-parametrige Schar von Integralkurven definiert. Jede einzelne dieser Integralkurven, d.h. das Kurvenbild der entsprechenden partikulären Lösung, kann durch spezielle Wahl der willkürlichen Konstanten erhalten werden. Wenn das partikuläre Integral den oben angegebenen Anfangsbedingungen genügen soll, dann müssen die Werte aus den folgenden Gleichungen ermittelt werden:

= y₀,

= (9.26b) =

Sollten diese Gleichungen für die willkürlichen Anfangswerte in einem bestimmten Gebiet einander widersprechen, dann ist die Lösung in diesem Gebiet nicht allgemein, d.h., die Konstanten sind nicht unabhängig voneinander wählbar.

Berechnung eines ersten Integrals:

Auch die allgemeine Lösung des Systems (9.23a) enthält n willkürliche Konstanten. Diese allgemeine Lösung läßt sich auf zweierlei Weise darstellen, entweder aufgelöst nach den unbekannten Funktionen

oder aufgelöst nach den willkürlichen Konstanten

Im Falle von (9.26b) ist jede Beziehung der Art

ein erstes Integral des Systems (9.23a). Das erste Integral kann unabhängig vom allgemeinen Integral als Beziehung der Art (9.27c) definiert werden. Dabei wird davon ausgegangen, daß (9.27c) zur Identität wird, wenn anstelle der irgendeine partikuläre Lösung des gegebenen Systems mit einer durch diese partikuläre Lösung bestimmten willkürlichen Konstanten C_i eingesetzt wird. Wenn irgendein erstes Integral der Form (9.27c) bekannt ist, dann genügt die Funktion der partiellen Differentialgleichung

Umgekehrt, jede Lösung der Differentialgleichung (9.27d) liefert ein erstes Integral des Systems (9.23a) in der Form (9.27c). Das allgemeine Integral des Systems (9.27a) kann aus einem System von n ersten Integralen des Systems (9.23a) gebildet werden, für die die zugehörigen Funktionen linear unabhängig sind.