Selbstadjungierte Differentialgleichung

Selbstadjungierte Differentialgleichung wird die folgende wichtige Form der Differentialgleichungen 2. Ordnung genannt:

Als lineare Randbedingungen werden die homogenen Bedingungen

vorgegeben. Die Funktionen und f(x) sollen in dem endlichen Intervall stetig sein. Im Falle eines unendlichen Intervalls ändern sich die Ergebnisse ganz wesentlich (s. [9.5]). Außerdem wird verlangt, daß gilt. Die Größe , ein Parameter der Differentialgleichung, ist konstant. Für f =0 ergibt sich zum inhomogenen Randwertproblem das zugehörige homogene Randwertproblem.
Jede Differentialgleichung 2. Ordnung

kann, falls in ist, durch Multiplikation mit p/A auf die selbstadjungierte Form (9.73a) gebracht werden. Dazu sind die Substitutionen

erforderlich.
Um eine Lösung zu finden, die den inhomogenen Bedingungen

genügt, geht man auf eine Aufgabe mit homogenen Bedingungen, aber geänderter rechter Seite der Differentialgleichung, zurück, indem man die unbekannte Funktion mit Hilfe der Substitution y =z + u ersetzt. Dabei ist u eine beliebige, zweimal differenzierbare Funktion, die die inhomogenen Randbedingungen erfüllt, während z eine neue unbekannte Funktion ist, die die zugehörigen homogenen Randbedingungen erfüllt.