Haupteigenschaften der Eigenfunktionen und Eigenwerte

1. Die Eigenwerte eines Randwertproblems bilden eine monoton wachsende Folge reeller Zahlen

   die gegen unendlich strebt.

2. Die Eigenfunktion, die zum Eigenwert gehört, besitzt im Intervall a<x<b genau n Nullstellen.
3. Sind y(x) und z(x) zwei Eigenfunktionen, die zu demselben Eigenwert gehören, dann unterscheiden sie sich nur durch einen konstanten Faktor , d.h., es gilt
4. Für zwei Eigenfunktionen y₁(x) und , die den verschiedenen Eigenwerten und entsprechen, gilt die Orthogonalitätsrelation

   wobei das Gewicht der Orthogonalität genannt wird.

5. Wenn in (9.73a) die Koeffizienten p(x) und q(x) durch und ersetzt werden, dann werden die Eigenwerte nicht kleiner, sondern es gilt , wobei und die n-ten Eigenwerte der geänderten bzw. ungeänderten Gleichung sind. Wenn jedoch der Koeffizient durch ersetzt wird, dann werden die Eigenwerte nicht größer, sondern es gilt . Der n-te Eigenwert hängt hierbei stetig von den Koeffizienten der Gleichung ab, d.h., hinreichend kleinen Änderungen der Koeffizienten entsprechen beliebig kleine Änderungen des n-ten Eigenwertes.
6. Verkleinerungen des Intervalls [a,b] ziehen keine Verkleinerung der Eigenwerte nach sich.