Richtungsfeld, Vertikale Richtungen

1. Richtungsfeld:

Wenn durch den Punkt P(x,y) die Kurve einer Lösung der Differentialgleichung y' =f(x,y) geht, dann kann der Richtungsfaktor dy/dx der Tangente an die Kurve in diesem Punkt unmittelbar aus der Differentialgleichung bestimmt werden. Damit definiert die Differentialgleichung in jedem Punkt die Richtung der Tangente an eine Lösungskurve. Die Gesamtheit dieser Richtungen bildet das Richtungsfeld (s. Abbildung).

Als Element des Richtungsfeldes bezeichnet man einen Punkt zusammen mit der in ihm gegebenen Richtung. Geometrisch betrachtet bedeutet die Integration einer Differentialgleichung 1.  Ordnung somit die Verbindung der Elemente des Richtungsfeldes zu Integralkurven, deren Tangenten in jedem Punkt eine Richtung besitzen, die mit der des Richtungsfeldes in dem betreffenden Punkt übereinstimmt.

2. Vertikale Richtungen:

Wenn in einem Feld vertikale Richtungen auftreten, d.h. wenn die Funktion f(x,y) einen Pol besitzt, vertauscht man die Rolle der abhängigen und unabhängigen Variablen und faßt die Differentialgleichung

als äquivalent zur vorgegebenen Differentialgleichung (9.2) auf. In den Gebieten, in denen die Bedingungen des Existenzsatzes für die Differentialgleichungen (9.2) oder (9.4) erfüllt sind, geht durch jeden Punkt P(x₀,y₀) eine eindeutig bestimmte Integralkurve (s. Abbildung).