Cauchysches Problem

Gegeben sind n Funktionen von n-1 unabhängigen Variablen :

Das CAUCHYsche Problem für die Differentialgleichung (9.77a) besteht darin, eine Lösung

zu bestimmen, die beim Einsetzen von (9.81a) eine vorgegebene Funktion ergibt:

Im Falle zweier Variabler reduziert sich das Problem auf das Aufsuchen einer Integralfläche, die durch eine gegebene Kurve verläuft. Wenn diese Kurve eine stetige Tangente hat und in keinem Punkt eine Charakteristik berührt, dann besitzt das CAUCHYsche Problem in einer gewissen Umgebung dieser Kurve stets eine eindeutige Lösung. Dabei besteht die Integralfläche aus der Menge aller der Charakteristiken, die die gegebene Kurve schneiden. Eine exaktere Formulierung des Satzes über die Existenz der Lösung des CAUCHYschen Problems s. [9.26].

Beispiel A

Für die lineare inhomogene partielle Differentialgleichung 1. Ordnung

lauten die Gleichungen der Charakteristiken
.
Die Integrale dieses Systems lauten
.
Als Charakteristiken ergeben sich Kreise, deren Mittelpunkte auf einer durch den Koordinatenursprung verlaufenden Geraden liegen, die zu l, m, n proportionale Richtungskosinusse besitzt. Die Integralflächen sind Rotationsflächen mit dieser Geraden als Achse.

Beispiel B

Es sind die Integralflächen der linearen inhomogenen Differentialgleichung 1.  Ordnung

zu bestimmen, die durch die Kurve
verläuft. Die Gleichungen der Charakteristiken lauten
.
Die durch den Punkt (x₀,y₀,z₀) verlaufenden Charakteristiken sind
.
Als Parameterdarstellung der gesuchten Integralfläche findet man
,
wenn gesetzt wird. Die Elimination von y₀ führt auf .