Clairautsche Differentialgleichung

Wenn die gegebene Differentialgleichung auf die Form

gebracht werden kann, man spricht dann von CLAIRAUTscher Differentialgleichung, gestaltet sich die Bestimmung des vollständigen Integrals recht einfach, denn ein vollständiges Integral mit den frei wählbaren Parametern ist

Beispiel Zweikörperproblem mit Hamilton--Funktion

Die Bewegung zweier materieller Punkte, die der NEWTONschen Gravitationswechselwirkung unterliegen sollen, erfolgt in einer Ebene. Daher ist es vorteilhaft, einen der beiden Punkte in den Koordinatenursprung zu legen, so daß die Bewegungsgleichung die Form

annimmt. Führt man die HAMILTON-Funktion

ein, dann geht das System (9.85a) in das Normalsystem

mit

über. Die Differentialgleichung lautet nunmehr

Bei Einführung von Polarkoordinaten geht (9.85e) in eine neue Differentialgleichung über, deren Lösung in der Form

mit den Parametern a, b, c dargestellt werden kann. Die allgemeine Lösung des Systems (9.85c) ergibt sich aus den Gleichungen