Kanonische Systeme von Differentialgleichungen

Manchmal ist es vorteilhafter, Differentialgleichungen zu betrachten, in denen die gesuchte Funktion z nicht explizit enthalten ist. Der Übergang zu einer derartigen Funktion kann erreicht werden, indem eine zusätzliche unabhängige Veränderliche x_n+1=z und eine unbekannte Funktion eingeführt werden. Für diese Funktion wird über die Gleichung

die gesuchte Funktion bestimmt. Dabei setzt man in (9.82a) anstelle von die Funktion ein. Dann wird die Differentialgleichung (9.82a) nach einer beliebigen partiellen Ableitung von V aufgelöst. Die dazugehörige unabhängige Veränderliche wird nach entsprechender Änderung der Numerierung der übrigen Variablen mit x bezeichnet. Schließlich bringt man die Gleichung (9.82a) in die Form

Das System der charakteristischen Differentialgleichungen geht so über in

und

Die Gleichungen (9.83c) stellen ein System von 2n gewöhnlichen Differentialgleichungen dar, das einer beliebigen Funktion von 2n +1 Variablen entspricht. Man nennt es ein kanonisches System oder ein Normalsystem von Differentialgleichungen. Viele Aufgaben der Mechanik und der theoretischen Physik führen auf Systeme dieser Art. Bei Kenntnis eines vollständigen Integrals

der Gleichung (9.83b) kann die allgemeine Lösung des Normalsystems (9.83c) bestimmt werden, denn die Gleichungen mit 2n willkürlichen Parametern a_i und b_i definieren eine 2n-parametrige Lösung des Normalsystems (9.83c).