Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung in vollständigen Differentialen

Gleichungen dieser Art haben die Gestalt

wobei die gegebene Funktionen der Variablen sind. Man spricht von einer vollständig integrierbaren Differentialgleichung, wenn sich eine eindeutige Beziehung zwischen den angeben läßt, die einen frei wählbaren konstanten Faktor enthält, und die auf die Gleichung (9.87a) führt. Dann existiert eine eindeutige Lösung von (9.87a), die für die Anfangswerte der unabhängigen Veränderlichen einen vorgegebenen Wert z₀ ergibt. Daraus folgt für , daß durch jeden Raumpunkt eine und nur eine Integralfläche verläuft.
Vollständige Integrabilität gibt es für die Differentialgleichung (9.87a) dann und nur dann, wenn die Beziehungen

in allen Variablen identisch erfüllt sind.
Wenn die Differentialgleichung in der symmetrischen Gestalt

gegeben ist, dann lautet die Bedingung für die vollständige Integrabilität für alle Kombinationen der Indizes i, j, k

Liegt vollständige Integrabilität vor, dann kann die Auflösung der Differentialgleichung (9.87a) auf die Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung mit n-1 Parametern zurückgeführt werden.