Allgemeine Form

Allgemeine Form einer linearen partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen x,y und einer unbekannten Funktion u heißt eine Gleichung der Gestalt

(9.88a)

wobei die Koeffizienten A,B,C,a,b,c und das freie Glied f bekannte Funktionen von x und y sind.
Die Form der Lösung dieser Differentialgleichung hängt vom Vorzeichen der Diskriminante

(9.88b)

in einem betrachteten Gebiet ab. Man unterscheidet die folgenden Formen:

  1. : Hyperbolischer Typ.
  2. : Parabolischer Typ.
  3. : Elliptischer Typ.
  4. ändert sein Vorzeichen: Gemischter Typ.
Eine wichtige Eigenschaft der Diskriminante besteht darin, daß ihr Vorzeichen invariant ist gegen beliebige Transformationen der unabhängigen Variablen, z.B. bei der Einführung neuer Koordinaten in der x,y-Ebene. Somit ist auch der Typ der Differentialgleichung eine Invariante bezüglich der Wahl der unabhängigen Variablen.