Näherungslösung durch Diskretisierung

Eine FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art

kann näherungsweise in Form eines linearen Gleichungssystems dargestellt werden. Es sei vorausgesetzt, daß die Funktionen K(x,y) und f(x) für stetig sind.
Das Integral in (11.15) soll durch die linksseitige Rechteckformel angenähert werden. Man könnte aber auch eine beliebige andere Quadraturformel anwenden. Mit den äquidistanten Punkten

erhält man die Näherung

Man ersetzt in dieser Beziehung durch eine Funktion , die (11.16b) exakt erfüllt:

Zur Auswertung dieser Näherungslösung benötigt man die Funktionswerte der Funktion in den Stützstellen . Setzt man in (11.16c) nacheinander , so erhält man ein lineares Gleichungssystem für die n gesuchten Funktionswerte . Mit den Abkürzungen

lautet dieses Gleichungssystem

Das System besitzt die Koeffizientendeterminante

Diese Determinante hat dieselbe Struktur wie die Koeffizientendeterminante, die bei der Behandlung von Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen auftritt. Das Gleichungssystem (11.17b) besitzt eine eindeutige Lösung für alle mit . Diese Lösung besteht aus Näherungen für die Funktionswerte der gesuchten Funktion in den Stützstellen. Die Zahlen mit sind Näherungen für die Eigenwerte der Integralgleichung. Die Lösung von (11.17b) läßt sich gemäß der CRAMERschen Regel als Quotient darstellen:

Dabei entsteht aus , indem die k-te Spalte durch ersetzt wird.