Spezieller Spline-Ansatz

Für eine spezielle Kernapproximation auf dem Integrationsintervall [a,b]=[0,1] wird

gewählt. Die Funktion ist nur in dem Intervall , dem sogenannten Träger, ungleich Null (s. Abbildung).

Zur Bestimmung der Koeffizienten d_jk in (11.31a) betrachte man an den Stellen . Dann gilt

und folglich . Aus diesem Grund setzt man . Die Gleichung (11.31a) hat damit die Form

Die Lösung von (11.31c) hat bekanntlich die Darstellung

Der Ausdruck ist dabei ein Polygonzug, der an der Stelle x_k=k/n den Wert A_k annimmt. Bei der Lösung von (11.31c) nach dem Verfahren für ausgeartete Kerne ergibt sich ein lineares Gleichungssystem für die Zahlen :

Dabei ist

c_jk =

= (11.36b)

Für die Integrale ergibt sich

Die Zahlen b_k in (11.36a) sind festgelegt durch

Werden die Zahlen c_jk aus (11.36a) zur Matrix , die Werte K(j/n,k/n) zur Matrix und die Werte I_jk zur Matrix zusammengefaßt, und wird aus den Zahlen der Vektor und aus den gesuchten Zahlen der Vektor gebildet, dann hat das Gleichungsystem (11.36a) in Matrizenschreibweise die Form

Falls die Matrix regulär ist, hat dieses System eine eindeutige Lösung .