Kollokationsmethode

Es werden n auf dem Intervall [a,b] linear unabhängige Funktionen vorgegeben. Mit diesen Funktionen bildet man eine Ansatzfunktion für die Lösung :

Die Aufgabe besteht in der Bestimmung der Koeffizienten . Für eine so definierte Funktion wird es im allgemeinen keine Werte geben, so daß damit die exakte Lösung der Integralgleichung (11.23) vorliegt. Deshalb gibt man sich im Integrationsintervall n Stützstellen vor und fordert, daß der Ansatz (11.37a) die Integralgleichung zumindest an diesen Stellen erfüllt:

= (11.37b)

= (11.37c)

Etwas umgeformt hat dieses Gleichungssystem die Gestalt:

+ (11.37d)

mit .
Definiert man die Matrizen

und die Vektoren

dann kann das Gleichungssystem zur Bestimmung der Zahlen in Matrizenform angegeben werden:

Beispiel

.
Ansatz: .
Stützstellen: .
.
Das Gleichungssystem lautet:

Man erhält als Lösung dieses Systems a₁=-0,8197, a₂=1,8092, a₃=0 und somit
mit .
Die exakte Lösung der Integralgleichung ist mit .

Soll in diesem Beispiel die Genauigkeit verbessert werden, empfiehlt es sich nicht, den Grad des Polynomansatzes zu erhöhen, da Polynome höheren Grades numerisch instabil sind. Es sind vielmehr verschiedene Spline-Funktionenansätze vorzuziehen, etwa der stückweise lineare Ansatz mit den bereits unter Kernapproximation angeführten Funktionen

Die Lösung wird in diesem Fall durch einen Polygonzug angenähert.

Hinweis: Die Wahl der Lage der Stützstellen für das Kollokationsverfahren ist prinzipiell ohne Beschränkung. Ist jedoch bekannt, daß die Lösungsfunktion in einem Teilintervall stark oszilliert, dann sollten in diesem Intervall die Stützstellen dichter gelegt werden.