Orthonormalsystem

Zwei quadratisch integrierbare Funktionen mit werden als orthogonal bezeichnet, falls für gilt

Ein Funktionensystem im Raum L²[a,b] wird als Orthonormalsystem bezeichnet, wenn die Beziehungen

erfüllt sind. Ein Orthonormalsystem ist überdies vollständig, wenn in L²[a,b] keine Funktion existiert, die zu allen Funktionen dieses Orthonormalsystems orthogonal ist. Ein vollständiges Orthonormalsystem besteht aus abzählbar vielen Funktionen, die eine Basis des Raumes L²[a,b] bilden. Um aus einem Funktionensystem ein Orthonormalsystem zu ermitteln, kann das GRAM-SCHMIDTsche Orthogonalisierungsverfahren verwendet werden. Es bestimmt sukzessive für die Koeffizienten derart, daß

normiert und zu allen Funktionen orthogonal ist.