Algorithmus

Bestimmung einer normierten Funktion , die zu allen Funktionen aus orthogonal ist. Für werden jeweils die folgenden Schritte durchlaufen:

1. Berechnung der Funktion sowie einer Zahl aus
   

   = (11.53a)

   = (11.53b)

   
   

   wobei immer ungleich Null und so zu bestimmen ist, daß normiert ist. ist orthogonal zu allen Funktionen .
2. Bestimmung der Funktion sowie einer Zahl aus

   Es können zwei Fälle eintreten:

   1. : Die Funktion ist orthogonal zu allen Funktionen .
   2. : Die Funktion ist nicht eindeutig bestimmt. Erneut werden zwei Fälle unterschieden:

      

      Das System ist vollständig. Dann ist auch das System
      vollständig, und das Verfahren ist beendet.

      

      Das System ist nicht vollständig. Dann wird eine beliebige, zu diesen Funktionen orthogonale Funktion gewählt.

Das Verfahren wird so lange wiederholt, bis die Orthonormalsysteme vollständig sind. Es ist möglich, daß im Algorithmus von einem gewissen Schritt ab auch nach abzählbar unendlich vielen weiteren Schritten nicht der Fall b) eintritt. Ist die dabei erzeugte abzählbar unendliche Folge von Funktionen nicht vollständig, dann kann mit einer zu allen diesen Funktionen orthogonalen Funktion das Verfahren neu gestartet werden.

Werden die durch das Verfahren ermittelten Funktionen sowie die Zahlen geeignet umbezeichnet, dann läßt sich die resultierende Kernmatrix folgendermaßen darstellen:

Die Matrizen sind endlich, wenn im Algorithmus nach endlich vielen Schritten der Fall eintritt. Dagegen sind sie unendlich, wenn für abzählbar unendlich viele Schritte j gilt: . Die Anzahl der Nullzeilen bzw. Nullspalten in entspricht der Anzahl der Funktionen in den Systemen bzw. . Ein besonders einfacher Fall liegt vor, wenn die Matrizen nur eine Zahl enthalten, also alle Zahlen gleich Null sind.

Mit den Bezeichnungen aus dem Abschnitt Zurückführung der Integralgleichung auf ein lineares Gleichungssystem ergibt sich für die Lösung des unendlichen Gleichungssystems unter der Voraussetzung von f_j=0 für :