Schwache Konvergenz von Elementen

Eine Folge von Elementen des normierten Raumes heißt schwach konvergent zu einem Element , wenn für jedes die Beziehung gilt (Schreibweise: ).

Offenbar hat man: impliziert Ist ein weiterer normierter Raum und ein stetiger linearer Operator, dann gelten

1. impliziert ,
2. ist T kompakt, dann impliziert sogar .

Beispiel A

Jeder endlichdimensionale Operator ist kompakt. Daraus folgt, daß der identische Operator in einem unendlichdimensionalen Raum nie kompakt sein kann
(s. Kompakte Teilmengen in normierten Räumen).

Beispiel B

Sei und T der durch die unendliche Matrix

gegebene Operator in . Gilt , dann ist T ein kompakter Operator von in mit .

Beispiel C

Der Integraloperator (12.134) erweist sich als kompakter Operator in den Räumen und .