Fredholmsche Alternative

Sei T ein kompakter linearer Operator in einem BANACH-Raum . Es werden die folgenden Gleichungen zweiter Art mit einem Parameter betrachtet:

Es gelten:

1. dimdim, d.h., die homogenen Gleichungen haben stets dieselbe endliche Anzahl von linear unabhängigen Lösungen.
2. und . (Hier ist die Orthogonalität im BANACH-Raum gemeint.)
3. genau dann, wenn .
4. Die FREDHOLMsche Alternative (auch RIESZ-SCHAUDER-Theorie genannt), d.h.:

   1. Entweder die homogene Gleichung besitzt nur die triviale Lösung. In diesem Falle gilt , der Operator ist beschränkt, und die inhomogene Gleichung besitzt genau eine Lösung für beliebiges .
   2. Oder die homogene Gleichung besitzt wenigstens eine nichttriviale Lösung. In diesem Falle gilt: ist ein Eigenwert von , also , und die inhomogene Gleichung besitzt eine (nicht eindeutige) Lösung genau dann, wenn die rechte Seite y der Bedingung f(y)=0 für jede Lösung f der adjungierten Gleichung genügt. In letzterem Fall erhält man jede Lösung der inhomogenen Gleichung in der Form , wobei x₀ eine feste Lösung der inhomogenen Gleichung und ist.

Lineare Gleichungen der Gestalt Tx=y mit kompaktem Operator T nennt man von erster Art. Ihre Behandlung ist im allgemeinen etwas schwieriger (s. [12.12], [12.21]).