Existenzaussagen zur Lösung von Operatorengleichungen

Existenzaussagen für Lösungen von Operatorengleichungen mit monotonem Operator können hier nur exemplarisch angegeben werden: Ist der Operator , der einen reellen separablen BANACH-Raum in abbildet, monoton, demistetig und koerzitiv, dann hat die Gleichung T(x)=f für beliebiges eine Lösung. Ist zudem der Operator T streng monoton, dann ist die Lösung sogar eindeutig, in diesem Falle existiert also der inverse Operator .

Für einen monotonen demistetigen Operator im HILBERT-Raum mit gilt , wobei (I+T)^-1 stetig ist. Wenn T als streng monoton vorausgesetzt wird, dann ist T^-1 bijektiv mit stetigem .

Konstruktive Näherungsmethoden für die Lösung der Gleichung T(x)=0 mit monotonem Operator T im HILBERT-Raum basieren auf der Idee des GALERKIN-Verfahrens oder [12.11], [12.21].
Mit dieser Theorie kann man ebenfalls mehrdeutige Operatoren behandeln, auf die der Monotoniebegriff durch und verallgemeinert wird (s. [12.14]).