Ansatzverfahren

Als Näherungslösung für die Randwertaufgabe (19.118) mit homogenen Randbedingungen wird eine Linearkombination geeignet gewählter Funktionen g_i(x) verwendet, die einzeln die Randbedingungen erfüllen und linear unabhängig sind:

Setzt man g(x) in die Differentialgleichung von (19.118) ein, dann wird ein Fehler, der sogenannte Defekt

auftreten. Die Bestimmung der Ansatzkoeffizienten a_i kann nach folgenden Prinzipien erfolgen:

1. Kollokationsmethode:

Der Defekt soll an n Stellen , den Kollokationsstellen, verschwinden. Die Bedingungen

liefern ein lineares Gleichungssystem für die Ansatzkoeffizienten.

2. Fehlerquadratmethode:

Man fordert, daß das Integral

in Abhängigkeit von den Koeffizienten minimal wird. Die notwendigen Bedingungen

ergeben ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten .

3. Galerkin-Verfahren:

Man fordert die sogenannte Fehlerorthogonalität, d.h., es muß

gelten, und erhält auch auf diese Weise ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten.

4. Ritz-Verfahren:

Bei vielen Randwertaufgaben hat die Lösung y(x) die Eigenschaft, auch Lösung einer sogenannten Variationsaufgabe zu sein, d.h., y(x) macht ein Integral der Form

zum Minimum (s. (10.4)). Kennt man die Funktion H(x,y,y'), so ersetzt man y(x) gemäß (19.121) näherungsweise durch g(x) und minimiert . Die dafür notwendigen Bedingungen

liefern n Gleichungen für die Koeffizienten a_i.

Beispiel

Unter bestimmten Voraussetzungen an die Funktionen und y sind die Randwertaufgabe

und die Variationsaufgabe

äquivalent, so daß man für Randwertaufgaben der Form (19.129) die Funktion H(x,y,y') aus (19.130) unmittelbar ablesen kann.
Bei inhomogenen Randbedingungen wird der Ansatz

verwendet, wobei g₀(x) die Randbedingungen erfüllt und die Funktionen g_i(x) den homogenen Bedingungen

genügen müssen. So kann z.B. im Falle der Randwertaufgabe (19.118)

gewählt werden.
Hinweis: Bei linearen Randwertaufgaben führen die Ansätze (19.121) und (19.131) auf lineare Gleichungssysteme zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten. Im Falle nichtlinearer Randwertaufgaben erhält man nichtlineare Gleichungssysteme, die nach den im Abschnitt Nichtlineare Gleichungssysteme angegebenen Verfahren zu lösen sind.