Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Das gegebene lineare (n,n)-Gleichungssystem

geht durch Umformung (s. Lineare Gleichungssysteme) gemäß (19.26)in das äquivalente Gleichungssystem

über. Dieses läßt sich mit dem Operator , definiert durch

in das Fixpunktproblem

x = Tx (12.64)

überführen, das im metrischen Raum , versehen mit einer geeigneten Metrik, der euklidischen (12.43), der Metrik (12.44) oder der Metrik (vgl. mit (12.47)), betrachtet wird. Ist eine der Zahlen

kleiner als 1, dann erweist sich T als kontrahierender Operator und besitzt genau einen Fixpunkt (s. BANACHscher Fixpunktsatz), der der komponentenweise Grenzwert der Iterationsfolge mit beliebigem Startpunkt aus ist.