Berechnung von Oberflächenintegralen

Die Berechnung von Oberflächenintegralen in Skalar- oder Vektorfeldern kann unabhängig davon, ob S von einer geschlossenen Kurve umrandet ist oder selbst eine geschlossene Fläche darstellt, in fünf Schritten erfolgen:

1. Einteilung des Flächenstückes , auf dem die Außenseite durch den Umlaufsinn der Randkurve bestimmt ist (s. Abbildung), in beliebige n Teilflächenstücke derart, daß jedes dieser Teilflächenstücke durch ein ebenes Flächenstück angenähert werden kann. Jedem Flächenstück wird gemäß (13.31a) der Vektor zugeordnet
   

   

   Im Falle einer geschlossenen Fläche wird der positive Umlaufsinn der Randkurve so festgelegt, daß die positive Seite, auf der der Vektor beginnt, die Außenfläche ist.

2. Auswahl eines beliebigen Punktes P_i mit dem Ortsvektor im Innern oder auf dem Rande jedes Teilflächenstückes.
3. Bildung des Produktes im Falle des skalaren Feldes und oder im Falle eines vektoriellen Feldes.
4. Addition der für die Teilflächenstücke gebildeten Produkte.
5. Bildung des Grenzüberganges für . Dabei sollen die Teilflächenstücke in dem bei der Berechnung des Doppelintegrals angegebenen Sinne gegen Null streben. Wenn der jeweilige Grenzwert existiert und von der Zerlegung von S in Teilflächenstücke sowie von der Wahl der Punkt P_i unabhängig ist, dann erhält man die im folgenden Abschnitt angegebenen Oberflächenintegrale.