Lösung der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung für ein homogenes Medium

1. Problemstellung
Die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung mit verschwindendem Störglied und für ein homogenes Medium sei in der Form
uxx-a-2ut = uxx-uy=0 (15.59a)


in dem Grundgebiet und mit den Anfangs- und Randbedingungen
(15.59b)

gegeben. Die Zeitkoordinate wurde durch die Substitution y = at ersetzt. Wie die dreidimensionale Wärmeleitungsgleichung, so ist auch (15.59a) vom parabolischen Typ.

2. Laplace-Transformation
Die Bildgleichung lautet
(15.60a)

die Randbedingungen sind

(15.60b)

Die Lösung der Bildgleichung lautet dann

(15.60c)

Es ist von Vorteil, zunächst zwei Partikulärlösungen U1 und U2 mit den Eigenschaften

(15.61a)
(15.61b)

herzustellen, d.h.

(15.61c)
(15.61d)

Die gesuchte Lösung der Bildgleichung hat dann die Form

(15.62)
3. Rücktransformation
Die Rücktransformation ist im Falle besonders einfach und liefert:
(15.63a)
(15.63b)