Spektralinterpretation der Fourier-Transformation

In Analogie zur FOURIER-Reihe einer periodischen Funktion erfährt das FOURIER-Integral für eine nichtperiodische Funktion eine einfache physikalische Interpretation.

1. Darstellung:

Eine Funktion , für die das FOURIER-Integral existiert, kann gemäß (15.67) und (15.68) als Summe sinusoidaler Schwingungen mit der sich stetig ändernden Frequenz in der Form

dargestellt werden.

2. Interpretation:

Der Ausdruck gibt die Amplitude der Teilschwingungen an und und deren Phasen. Für die komplexe Schreibweise trifft die gleiche Interpretation zu:
Die Funktion f(t) ist eine Summe (Integral) von abhängigen Summanden des Typs

wobei die Größe sowohl die Amplitude als auch die Phase aller Teilvorgänge festlegt.

3. Anwendungen:

Diese spektrale Interpretation des FOURIER-Integrals und der FOURIER-Transformation bedeutet einen großen Vorteil für die Anwendung in Physik und Technik. Die Bildfunktion

nennt man Spektrum oder Frequenzspektrum der Funktion , die Größe

das Amplitudenspektrum und bzw. das Phasenspektrum der Funktion . Zwischen dem Spektrum und den Koeffizienten (15.66b,c) besteht die Beziehung

woraus sich die folgenden Aussagen ergeben:

1. Ist f(t) eine reelle Funktion, dann ist das Amplitudenspektrum eine gerade und das Phasenspektrum eine ungerade Funktion von .
2. Ist f(t) eine reelle und gerade Funktion, dann ist ihr Spektrum reell, ist f(t) reell und ungerade, dann ist das Spektrum imaginär.

Beispiel

Setzt man das Ergebnis (A.2) für den unipolaren Rechteckimpuls in (15.82) ein, dann ergibt sich für die Bildfunktion und für das Amplitudenspektrum (s. Abbildung)

Die Berührungspunkte des Amplitudenspektrums mit der Hyperbel