Differentiation im Bildbereich und im Originalbereich

1. Differentiation im Bildbereich:

Ist tⁿf(t) FOURIER-transformierbar, dann gilt

wobei mit die n-te Ableitung von bezeichnet ist.

2. Differentiation im Originalbereich:

a) Erste Ableitung:

Ist eine Funktion f(t) stetig und absolut integrierbar in und strebt sie für gegen Null und existiert, ausgenommen gewisse Punkte, überall die Ableitung , die in absolut integrierbar sein muß, dann gilt

b) n-te Ableitung:

Stellt man in der Verallgemeinerung des Satzes für die 1. Ableitung an alle weiteren Ableitungen bis zur (n-1)-ten f^(n-1) die gleichen Anforderungen, dann gilt

Diese Differentiationsregeln werden bei der Lösung von Differentialgleichungen angewendet.