Lösung der eindimensionalen Wellengleichung für ein homogenes Medium

1. Problemstellung
Die eindimensionale Wellengleichung mit verschwindendem Störglied und für ein homogenes Medium lautet:
(15.104a)

Wie die dreidimensionale Wellengleichung (9.111a), so ist auch 15.104a eine partielle Differentialgleichung vom hyperbolischen Typ. Das CAUCHYsche Problem sei durch die Anfangsbedingungen

(15.104b)

korrekt gestellt.

2. Fourier-Transformation
Zur Lösung wird die FOURIER-Transformation bezüglich x durchgeführt, wobei die Zeitkoordinate konstant gehalten wird:
(15.105a)

Daraus ergibt sich:

- (15.105b)
= (15.105c)
= (15.105d)
= (15.105e)


Das Ergebnis ist eine gewöhnliche Differentialgleichung für die nun wieder als Veränderliche zu betrachtende Zeitkoordinate t mit dem Parameter der Bildfunktion.

Die allgemeine Lösung dieser bekannten Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten lautet

(15.106a)

Mit Hilfe der Anfangsbedingungen

(15.106b)

lassen sich die Konstanten C1 und C2 bestimmen:

(15.106c)

Die Lösung ergibt sich zu

(15.106d)
3. Rücktransformation
Zur Rücktransformation der Funktion kann der Verschiebungssatz,
(15.107a)

mit Vorteil eingesetzt werden, woraus sich ergibt

(15.107b)

Die Anwendung der Integrationsregel

= (15.107c)
= (15.107d)


nach Substitution s + t = z und analog
(15.107e)

Die endgültige Lösung im Originalbereich lautet somit

(15.108)