Allgemeine Lösung linearer Differenzengleichungen

Eine lineare Differenzengleichung k-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die Form

Dabei ist k eine natürliche Zahl. Die Koeffizienten sind gegebene reelle oder komplexe Zahlen und hängen nicht von n ab. Es gelte und . Die Folge {g_n} ist gegeben, die Folge {y_n} ist gesucht.

Zur Bestimmung einer speziellen Lösung von (15.133) werden die Werte vorgegeben. Dann kann man aus (15.133) für n=0 den nächsten Wert y_k ausrechnen. Aus ergibt sich dann aus (15.133) für n=1 der Wert . Auf diese Weise kann man alle Werte y_n rekursiv ausrechnen. Mit Hilfe der Z-Transformation läßt sich jedoch für y_n eine allgemeine Darstellung angeben. Dazu wendet man den zweiten Verschiebungssatz (15.118) auf (15.133) an und erhält:

+ (15.134)

Dabei bedeutet . Setzt man weiterhin , so lautet die Lösung der sogenannten Bildgleichung (15.134)

Wie bei der Behandlung von linearen Differentialgleichungen mit der LAPLACE-Transformation hat man auch bei der Z-Transformation den Vorteil, daß die Anfangswerte in die Bildgleichung eingehen und daher bei der Lösung automatisch berücksichtigt werden. Aus (15.135) gewinnt man dann die gesuchte Lösung durch Rücktransformation gemäß Abschnitt
Umkehrung der Z-Transformation.