Umkehrung der Z-Transformation

Die Umkehrung der Z-Transformation oder kurz Rücktransformation besteht darin, zu einer gegebenen Bildfunktion F(z) die zugehörige, eindeutige Originalfolge {f_n} zu finden. Man schreibt dann

Für die Rücktransformation gibt es verschiedene Möglichkeiten.

1. Benutzung von Tabellen

Wenn die Funktion F(z) in der Tabelle explizit nicht vorkommt, kann man versuchen, durch Umformungen und durch Anwendung der Rechenregeln zu Funktionen zu gelangen, die in Tabelle Z-Transformationen vorhanden sind.

2. Laurent-Reihe von F(z)

Wegen der Definition (15.109 gelingt eine Rücktransformation sofort, wenn für F(z) eine Reihenentwicklung in 1/z bekannt ist oder sich leicht ermitteln läßt.

3. Taylor-Reihe von

Da eine Reihe nach aufsteigenden Potenzen von z ist, ergibt sich wegen (15.109) nach der TAYLOR-Formel

4. Anwendung eines Grenzwertsatzes

Mit Hilfe der Grenzwerte (15.111) und (15.115) kann man die Originalfolge {f_n} aus ihrer Bildfunktion F(z) unmittelbar bestimmen.

Beispiel

. Es sollen die voranstehenden vier Methoden angewendet werden.

1. Durch Partialbruchzerlegung von F(z)/z erhält man Funktionen, die in der Tabelle Z-Transformationen enthalten sind.
   

   

   
   

   Daraus folgt
   

   

   
   

2. Durch Division geht F(z) in die folgende Reihe nach absteigenden Potenzen von z über:
   

   

   
   

   Daraus liest man unmittelbar ab, aber man erhält keinen geschlossenen Ausdruck für das allgemeine Glied .
3. Zur Bildung von und den in (15.132) benötigten Ableitungen geht man zweckmäßigerweise von der Partialbruchzerlegung von F(z) aus und erhält: </TD></TR></TABLE>

   
   Unter Berücksichtigung der Formeln in (15.132) ergibt sich . Die Anwendung der Grenzwertsätze unter Beachtung der BERNOULLIschen Regel ergibt:

   f₀ =

   f₁ =

   f₂ =

   f₃ =

   
   

   Auf diese Weise läßt sich die Originalfolge {f_n} sukzessiv bestimmen.