Differenzenverfahren

Das Integrationsgebiet wird durch ausgewählte Punkte gitterförmig unterteilt. Gewöhnlich wird das Gitter rechteckig gewählt:

Für l=h erhält man ein quadratisches Gitter. Bezeichnet man die gesuchte Lösung mit , dann werden die in der Differentialgleichung und in den Rand- bzw. Anfangsbedingungen auftretenden partiellen Ableitungen durch finite Ausdrücke der folgenden Art ersetzt, wobei unter ein Näherungswert für den Funktionswert zu verstehen ist:

In (19.137) ist die Fehlerordnung mit Hilfe des LANDAU-Symbols O angegeben worden.

Insbesondere bei parabolischen Differentialgleichungen ist es günstiger, die Näherung

mit einem festen Parameter zu verwenden. Die Formel (19.138) stellt eine Konvexkombination zweier finiter Ausdrücke dar, die aus der entsprechenden Formel von (19.137) für die Werte und enstanden sind.
Mit den Formeln (19.137) kann eine partielle Differentialgleichung für jeden inneren Gitterpunkt in eine Differenzengleichung übergeführt werden, wobei die Rand- und Anfangsbedingungen zu beachten sind. Das so entstehende Gleichungssystem für die Näherungswerte , das für kleine Schrittweiten h und l von großer Dimension ist, muß in der Regel iterativ gelöst werden
(s. Abschnitt Iteration in Gesamt- und Einzelschritten).

Beispiel A

Die Funktion u(x,y) erfülle die POISSON-Gleichung für alle Punkte (x,y) mit , d.h. im Innern eines Rechtecks, und genüge der Randbedingung u =0 auf dem Rand des Rechtecks. Die der Differentialgleichung entsprechende Differenzengleichung für ein quadratisches Gitter mit der Schrittweite h lautet:
.
Die Schrittweite h=1 (s. Abbildung)

liefert eine erste grobe Näherung für die Funktionswerte in den drei inneren Gitterpunkten:

Man erhält: .

Beispiel B

Die Gleichungssysteme, die bei der Anwendung des Differenzenverfahrens auf partielle Differentialgleichungen entstehen, haben in der Regel eine sehr spezielle Struktur. Das soll am Beispiel der folgenden, etwas allgemeineren Randwertaufgabe gezeigt werden. Integrationsgebiet sei das Quadrat .
Gesucht ist eine Funktion u(x,y) mit im Innern von auf dem Rand von . Die Funktionen f und g sind gegeben. Die zu dieser Differentialgleichung gehörende Differenzengleichung lautet für :

Im Falle n=5 hat die linke Seite dieses Differenzengleichungssystems für die Näherungswerte in den 4 x 4 inneren Punkten die folgende Gestalt, wenn man das Gitter zeilenweise von links nach rechts durchläuft und dabei beachtet, daß die Funktionswerte auf dem Rand bekannt sind:

Man sieht: Die Koeffizientenmatrix ist symmetrisch und schwach besetzt. Ihre Gestalt wird als block-tridiagonal bezeichnet. Man beachte aber, daß die Gestalt der Koeffizientenmatrix davon abhängig ist, wie die Gitterpunkte durchlaufen werden.

Für die verschiedenen Aufgabenklassen bei partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung, insbesondere bei elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Differentialgleichungen, ist eine Vielzahl angepaßter Differenzenverfahren entwickelt und auf Konvergenz und Stabilität hin untersucht worden. Die Spezialliteratur dazu ist umfangreich, Standardwerke s. [19.28], [19.31], [19.20].