Homogene Markoffsche Ketten

Hängen bei einer MARKOFFschen Kette mit endlichem Zustandsraum die Übergangswahrscheinlichkeiten (16.111) nicht von der Zeit ab, d.h., es gilt

dann spricht man von einer homogenen MARKOFFschen Kette. Zu einer homogenen MARKOFFschen Kette mit dem endlichen Zustandsraum gehört daher die Übergangsmatrix

mit

Wegen der Unabhängigkeit von t stellt p_ij die Übergangswahrscheinlichkeit vom Zustand i in den Zustand j während einer beliebigen Zeiteinheit dar.

Beispiel

Die Anzahl der belegten, von einer Telefonzentrale abgehenden Leitungen kann durch eine homogene MARKOFFsche Kette modelliert werden. Zur Vereinfachung wird angenommen, daß nur zwei Leitungen vorhanden sind. Es gibt also die Zustände . Die Zeiteinheit sei z.B. 1 Minute. Für die Übergangsmatrix p_ij wird die folgende Belegung angenommen:

In der Matrix (p_ij) erhält man die 1. Zeile für . Demzufolge ist das Matrixelement p₁₂=0,3 (2. Zeile, 3. Spalte) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß zur Zeit t_m zwei Leitungen belegt sind, falls zur Zeit t_m-1 eine Leitung belegt war.

Hinweis: Jede quadratische Matrix vom Typ (N,N) mit den Eigenschaften (16.114b, 16.114c) wird als stochastische Matrix bezeichnet. Ihre Zeilenvektoren heißen stochastische Vektoren.
Bei einer homogenen MARKOFFschen Kette hängen zwar die Übergangswahrscheinlichkeiten nicht von der Zeit ab, aber die Verteilung der Zufallsgrößen X_t zu einem Zeitpunkt t ist durch die Wahrscheinlichkeiten

mit

gegeben, da sich der Prozeß zum Zeitpunkt t mit Sicherheit in irgend einem der Zustände befindet. Die Wahrscheinlichkeiten (16.115a) können zu dem Wahrscheinlichkeitsvektor

zusammengefaßt werden. Der Wahrscheinlichkeitsvektor ist ein stochastischer Vektor. Er beschreibt die Verteilung auf die Zustände der homogenen MARKOFFschen Kette zum Zeitpunkt .