Geburts- und Todesprozesse

Eine erste Verallgemeinerung des POISSON-Prozesses besteht darin, daß man in (16.121) eine vom Zustand i abhängige Übergangsrate wählt. Als zweite Verallgemeinerung werden auch Übergänge vom Zustand i in den Zustand i-1 zugelassen. Die zugehörige Übergangsrate wird mit bezeichnet. Der Zustand i eines solchen Prozesses kann z.B. die Anzahl der Individuen einer Population angeben, die beim Übergang von i zu i+1 um ein Individuum vergrößert, beim Übergang von i zu i-1 um ein Individuum verringert wird. Solche stochastischen Prozesse werden Geburtsprozesse und Todesprozesse genannt. Es sei p(X_t=i) =p_i(t) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich der Prozeß zum Zeitpunkt t im Zustand i befindet. Für die Übergangswahrscheinlichkeiten gilt dann analog zum POISSON-Prozeß:

Bemerkung: Der POISSON-Prozeß ist ein reiner Geburtsprozeß mit konstanter Übergangsrate.