Vertrauensgrenzen für den Mittelwert bei bekannter Streuung

Es sei X eine kontinuierliche Zufallsgröße, normalverteilt mit den Parametern und . Gemäß Abschnitt Verteilung der Stichprobenmittelwerte ist dann ebenfalls eine kontinuierliche Zufallsgröße, normalverteilt mit den Parametern und . Durch die Substitution

erhält man eine Zufallsgröße , die der normierten Normalverteilung genügt. Für diese gilt

Gibt man jetzt eine Irrtumswahrscheinlichkeit vor und verlangt

dann kann man aus (16.138) numerisch bestimmen bzw. aus der Tabelle Normierte Normalverteilung ablesen und erhält aus unter Beachtung von (16.137) die Beziehung

Die Werte in (16.140) heißen Vertrauensgrenzen für den Mittelwert der Grundgesamtheit bei bekannter Streuung und vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit . Man kann auch sagen: Der Mittelwert liegt mit der statistischen Sicherheit zwischen den Vertrauensgrenzen (16.140).

Hinweis: Ist der Stichprobenumfang hinreichend groß , dann kann in (16.140) an Stelle der in der Regel unbekannten Streuung der Grundgesamtheit die Stichprobenstreuung s² verwendet werden. Anderenfalls müssen die Vertrauensgrenzen mit Hilfe der t-Verteilung gemäß (16.143) ermittelt werden.