Vertrauensgrenzen für den Mittelwert bei unbekannter Streuung

Wenn die Streuung der Grundgesamtheit unbekannt ist, dann ersetzt man sie durch die Stichprobenstreuung s2 und erhält an Stelle von (16.137) die Zufallsvariable

(16.141)

die der t-Verteilung mit m=n-1 Freiheitsgraden genügt. Dabei ist n der Umfang der Stichprobe. Mit einer vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit gilt dann

(16.142)

Aus (16.142) folgt , wobei das Quantil der t-Verteilung (mit n - 1 Freiheitsgraden) zur Irrtumswahrscheinlichkeit darstellt (Tabelle STUDENT-Verteilung). Aus folgt

(16.143)

Die Werte heißen Vertrauensgrenzen für den Mittelwert der Grundgesamtheit bei unbekannter Streuung und vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit .

Beispiel

Eine Stichprobe bestehe aus den folgenden 6 Meßwerten: 0,842; 0,846; 0,835; 0,839; 0,843; 0,838. Daraus erhält man und . Wie groß ist höchstens die Abweichung des Stichprobenmittelwertes vom Mittelwert der Grundgesamtheit, wenn eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % bzw. 1 % zugelassen wird?

  1. : Aus der Tabelle t-Verteilung liest man ab und erhält
    , d.h., mit Wahrscheinlichkeit weicht der Stichprobenmittelwert höchstens um vom Mittelwert ab.
  2. : , d.h., mit Sicherheit weicht um höchstens von ab.