Chaos in eindimensionalen Abbildungen

Für stetige Abbildungen eines kompakten Intervalls in sich gibt es zahlreiche hinreichende Bedingungen für die Existenz chaotischer invarianter Mengen. Drei Beispiele sollen genannt werden.

1. Satz von Shinai:
Sei eine stetige Abbildung eines kompakten Intervalls I (z.B. I = [0,1]) in sich. Dann ist das System auf I genau dann chaotisch im Sinne von DEVANEY, wenn die topologische Entropie von auf I, d.h. , positiv ist.
2. Satz von Sharkovsky:
Die positiven ganzen Zahlen seien folgendermaßen geordnet:
3  
  (17.54)


Sei eine stetige Abbildung eines kompakten Intervalls in sich und habe auf I einen n-periodischen Orbit. Dann hat auch einen m-periodischen Orbit, wenn ist.
3. Satz von Block, Guckenheimer und Misiuriewicz:
Sei eine stetige Abbildung des kompakten Intervalls I in sich, so daß einen 2n m-periodischen Orbit (, ungerade) besitzt. Dann ist .