Symmetriebrechung

Manche Differentialgleichungen (17.61) besitzen Symmetrien im folgenden Sinne: Es existiert eine lineare Transformation T (oder sogar eine Gruppe von Transformationen), so daß für alle und ist. Ein Orbit von (17.61) heißt symmetrisch bezüglich T, falls ist.

Von einer symmetriebrechenden Bifurkation bei spricht man z.B. in (17.61) (bei l = 1), wenn für eine stabile Ruhelage oder ein stabiler Grenzzyklus vorliegt, die jeweils symmetrisch bezüglich T sind, und bei zwei weitere stabile Ruhelagen oder Grenzzyklen entstehen, die nicht mehr symmetrisch bezüglich T sind.

Beispiel

Für System (17.61) mit definiert eine Symmetrie, denn . Bei ist x₁ = 0 eine stabile Ruhelage. Bei gibt es neben x₁ = 0 die beiden anderen Ruhelagen , die beide nicht symmetrisch sind.