Bifurkationen in zweiparametrigen Differentialgleichungen

Spitzen-Bifurkation

Gegeben sei die Differentialgleichung (17.61) mit und . Die JACOBI-Matrix D_xf(0,0) habe den Eigenwert und n-1 Eigenwerte mit Re. Für die reduzierte Differentialgleichung (17.63) gelte und . Die TAYLOR-Zerlegung von F nahe (0,0) führt auf die verkürzte Normalform (ohne Glieder höherer Ordnung, s. [17.1])

mit den Parametern und . Die Menge stellt im erweiterten Phasenraum eine Fläche dar und wird Falte genannt (s. Abbildung).

Im weiteren sei . Die nicht hyperbolischen Ruhelagen von (17.70) werden durch das Gleichungssystem definiert und liegen auf den Kurven S₁ und , die durch die Menge bestimmt werden und zusammen eine Spitze (cusp) bilden (s. linke Abbildung.).

Bei ist die Ruhelage 0 von (17.70) stabil. Das Phasenporträt von (17.61) nahe , z.B. für und ist für ein dreifach zusammengesetzter Knoten (s. mittlere Abbildung) und für ein dreifach zusammengesetzter Sattel (s. rechte Abbildung) (s. auch [17.13]).
Beim Übergang von in das Innere des Gebietes 1 (s. linke Abbildung) spaltet sich die nicht hyperbolische Ruhelage 0 von (17.61) vom Typ eines zusammengesetzten Knotens in drei hyperbolische Ruhelagen (zwei stabile Knoten und ein Sattel) auf (superkritische Gabel-Bifurkation). Im Falle des zweidimensionalen Phasenraumes von (17.61) sind die Phasenporträts in der mittleren und rechten Abbildung zu sehen.

Beim Durchqueren des Parameterpaares von aus 1 in 2 bildet sich eine zweifach zusammengesetzte Ruhelage vom Sattelknoten-Typ, die sich anschließend aufhebt. Eine stabile hyperbolische Ruhelage verbleibt.

Bogdanov-Takens-Bifurkation

Für (17.61) gelte , und die Matrix D_xf(0,0) habe die beiden Eigenwerte und n-2 Eigenwerte mit Re. Die reduzierte zweidimensionale Differentialgleichung (17.63) sei topologisch äquivalent zum ebenen System

Dann findet auf der Kurve eine Sattelknoten-Bifurkation statt. Auf entsteht beim Übergang aus dem Gebiet in das Gebiet durch eine HOPF-Bifurkation ein stabiler Grenzzyklus und auf   existiert für das Ausgangssystem eine Separatrixschleife (s. Abbildung), die im Gebiet 3 in einen stabilen Grenzzyklus bifurkiert (s. [17.1], [17.17]).

Diese Bifurkation ist von globaler Natur und wird als Entstehung eines einzigen periodischen Orbits aus dem homoklinen Orbit eines Sattels oder Auflösung einer Separatrixschleife bezeichnet.

Verallgemeinerte Hopf-Bifurkation

Für (17.61) seien die Voraussetzungen der HOPF-Bifurkation mit erfüllt und die zweidimensionale reduzierte Differentialgleichung habe nach einer Koordinatentransformation in Polarkoordinaten die Normalform . Das Bifurkationsdiagramm (s. Abbildung) dieses Systems enthält die Linie , deren Punkte HOPF-Bifurkationen repräsentieren (s. [17.1]).

Im Gebiet 3 existieren zwei periodische Orbits, von denen einer stabil, der andere instabil ist. Auf der Kurve verschmelzen diese beiden nicht hyperbolischen Zyklen in einen zusammengesetzten Zyklus, der im Gebiet 2 verschwindet.