Bifurkationen in Morse-Smale-Systemen

Gegeben sei auf ein von einer Differentialgleichung oder einer Abbildung erzeugtes dynamisches System , das zusätzlich von einem Parameter abhängt. Jede Änderung der topologischen Struktur des Phasenporträts des dynamischen Systems bei kleiner Änderung des Parameters heißt Bifurkation. Der Parameter heißt Bifurkationswert, wenn in jeder Umgebung von 0 Parameterwerte existieren, so daß die dynamischen Systeme und auf M topologisch nicht äquivalent bzw. nicht konjugiert sind. Die kleinste Dimension eines Parameterraumes, bei der eine Bifurkation beobachtbar ist, heißt Kodimension der Bifurkation.

Man unterscheidet lokale Bifurkationen, die nahe einzelner Orbits des dynamischen Systems ablaufen, und globale Bifurkationen, die sofort einen großen Teil des Phasenraumes betreffen.

• Lokale Bifurkationen nahe Ruhelagen
  • Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Differentialgleichungen
  • Sattelknoten-Bifurkation und transkritische Bifurkation
  • Hopf-Bifurkation
  • Bifurkationen in zweiparametrigen Differentialgleichungen
  • Symmetriebrechung
  
  
• Lokale Bifurkationen nahe einem periodischen Orbit
  • Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Abbildungen
  • Bifurkation, zweifach zusammengesetzter semistabiler periodischer Orbit
  • Periodenverdopplung oder Flip-Bifurkation
  • Abspaltung eines Torus
  
  
• Globale Bifurkationen
  • Entstehung eines periodischen Orbits durch Verschwinden eines Sattelknotens
  • Auflösung einer Sattel-Sattel-Separatrix in der Ebene